Se numește sistem de numerație, o mulțime finită de simboluri (sau cifre) și de reguli folosite pentru reprezentarea unui număr. Un sistem de numerație pozitional este un sistem de numerație la care aportul unei cifre în valoarea totală a unui numar depinde atât de valoarea cifrei, cât și de locul ocupat de cifră în reprezentarea numărului respectiv. Sistemul de numerație arab este un sistem de numeratie pozițional, spre deosebire de sistemul de numerație roman care este un sistem nepozițional.
Sistemul de numerație binar
Sistemele de numerație folosite de către utilizatorii de calculatoare, în afara de sistemul zecimal, sunt: sistemul binar, sistemul octal și sistemul hexazecimal. Sistemul binar este sistemul de numerație în care lucrează calculatoarele electronice, datorită faptului că nu are decât două cifre, ceea ce duce la o implementare ușoară a calculelor în hardware. Sistemele de numerație octal și hexazecimal sunt folosite deoarece comprimă șirurile lungi de biți din reprezentarea unui număr în baza 2, iar conversia din baza 2 în baza 8 sau 16, 747f59h și invers, se face foarte ușor, fară calcule laborioase.
Pentru memorarea și prelucrarea informațiilor un calculator electronic utilizează circuitele electrice. Cele doua stări posibile ale unui circuit electric, reprezentate fie prin poziția unui intrerupător electric, fie prin două nivele de tensiune, sunt deschis și inchis și pot fi echivalate cu cifrele 0 și 1 sau cu valorile logice fals și adevărat.
Spațiul ocupat de o cifra binară se numește bit (de la binary digit) și poate conține fie valoarea 0, fie valoarea 1.Pentru că un bit este insuficient pentru a reține valori mai mari de 1, în mod uzual se folosesc grupări formate din mai multi biți al căror număr reprezintă o putere a lui 2. O asemenea grupare de baza conșine 23 = 8 biți și se numește octet (byte)3. Bitul este unitatea cea mai mică de informație.
Un bit poate distinge între cele două stări, deci poate avea două valori: 0 sau 1, sau cu alte cuvinte "da" sau "nu", "alb" sau "negru". Un calculator poate procesa cantități mai mari de informație, tratând grupurile de biți ca unități de informație.
Pentru reprezentarea informațiilor într-un calculator se utilizează sistemul de numerație binar, adică un sistem în care orice număr poate fi scris folosind numai cifrele 0 si 1. Astfel, colecția de 8 biți numită octet sau "byte", unde fiecare bit poate fi 0 sau 1, poate distinge între 256 de stări diferite (28=256), deci dacă am vrea să comunicăm cu cineva folosind un octet, am putea transmite cel mult 256 de mesaje diferite, fiecare mesaj fiind asociat cu o combinație de 0 și 1 a celor 8 biți. Celelalte unități de masură - multipli ai octetului sunt:
- 1Koctet sau 1Kb(yte) = 210 octeți (1024 octeți)= 8 192 biți;
- 1Moctet sau 1Mb = 210 Kb = 1 048 576 octeți;
- 1Goctet sau 1Gb = 210 Mb = 1 073741 824 octeți.
Ce înseamnă pentru un calculator un șir de biți de genul 10011010 ? Un asemenea șir de biți poate fi un număr, o literă a alfabetului, o instrucțiune a unui program sau orice alt lucru. Deoarece calculatoarele reduc orice informație la o combinație de 0 și 1, numerele din calculator sunt reprezentate folosind numai combinații ale celor două cifre sau simboluri.
Astăzi, calculatoarele nu lucreaza numai cu numere,ci la fel de mult sunt folosite și caracterele, calculatorul procesând cuvinte, propoziții etc.
Pentru aceasta, este necesar ca fiecare caracter sa fie reprezentat în mod unic ca o secvență de biți – cod alfanumeric, facînd posibilă memorarea și reprezentarea grafică a mesajelor.
Cele mai utilizate coduri alfanumerice sunt:
- ASCII - American Standard Code for Information Interchange;
- EBCDIC - Extended Binary Coded Decimal Interchange Code.
În prezent, marea majoritate a calculatoarelor acceptă numai codul ASCII, în care fiecărui caracter alfanumeric îi corespunde un cod unic pe 7 biti, sau pe 8 biti în cazul codului ASCII extins. De asemenea, instrucțiunile programelor sunt codificate folosind secvențe de biți. De exemplu, secvența 10101001 poate determina calculatorul sa adune 2 numere, în timp ce altă secvența poate determina calculatorul să execute o altă operație.
In cel mai utilizat sistem de numerație, care este sistemul zecimal, ca și în orice sistem de numerație pozițional, un număr se reprezintă ca o succesiune de cifre, sub forma:
an an-1 ... a1 a0
Valoarea numărului reprezentat sub această modalitate poate fi cunoscută prin însumarea produselor dintre fiecare cifră și baza sistemului de numerație ridicată la o putere care corespunde poziției cifrei respective în șir.
Pentru a înțelege mai bine acest mod de reprezentare, precum și modalitatea practică de a determina valoarea numărului, se dau următoarele exemple:
Valoarea numărului 2000 în sistemul zecimal
Valoarea acestui număr este data de suma:
2x103 + 0x102 + 0x101 + 0xl00
Valoarea numărului 7159 în sistemul zecimal
7 x 103 + 1 x 102 + 5 x 101 + 9 x 100
Pentru reprezentarea unei valori este necesar un anumit număr de cifre, număr care depinde de sistemul de numerație utilizat. Astfel, în sistemul zecimal se folosesc 10 cifre (0,1,2,...,9), în sistemul binar există 2 cifre (0,1), sistemul octal cuprinde 8 cifre (0,1,2,...,7), etc. Se poate observa ca numărul de cifre necesar reprezentării este egal cu baza sistemului de numerație utilizat.
Dacă se lucrează cu un singur sistem de numerație, cea mai des întalnită situație, nu se pot crea confuzii privind reprezentarea numerelor. Confuziile pot apărea atunci cînd, concomitent, sunt utilizate două sau mai multe sisteme de numerație. In acest caz este bine ca reprezentării respective să se atașeze baza sistemului de numerație în care se face reprezentarea. O modalitate de a specifica baza sistemului de numerație este cea din notația
an an-1 ... a1 a0(b) - în care b reprezintă baza sistemului.
Reprezentarea numărului 6132 în sistemul zecimal
Conform convenției amintite, acest numar trebuie scris în sistemul zecimal de numerație sub forma 6132(10)care înseamna "6132 în baza 10". Acest număr trebuie citit ,,șase mii o sută trei zeci și doi"
Reprezentarea numărului 6132 în sistemul octal.
Conform aceleiași convenții, în sistemul de numerație octal numărul trebuie sa fie scris sub forma 6132(8) care înseamnă "6132 în baza 8", adică:
6 x 83 + 1 x 82 + 3 x 81 + 2 x 80 = 6132(10)
Acest număr trebuie citit ,,șase unu trei doi" în baza opt.
Reprezentarea numărulul 6132 în sistemul hexazecimal.
In sistemul de numerație hexazecimal numărul trebuie să fie scris sub forma:
6132(16), care înseamna "6132 în baza 16", adica:
6 x 163 + 1 x 162 + 3 x 161 + 2 x 160 = 3162(10)
Sisteme de numerație nepoziționale
Simbolurile prin care sunt reprezentate cantitățile (numerele/dimensiunea) nu au o pondere în funcție de poziția ocupată în cadrul șirului de simboluri ce desemnează (semnifică) cantitatea globală (totală).
Sistemul de numerație roman
Romanii au pus la punct un sitem de numerație pe bază de simboluri (cifre), pentru reprezentarea cantităților, astfel: X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Dacă o cifră este urmatăn de o altă cifră a cărei valoare este egală sau mai mică decît prima niciuna dintre cifre nefiind mai mare decît cele din stînga, valoarea acestei cifre se adaugă la valoarea totală. Astfel, VIII reprezintă valoarea 8, iar CLVII reprezintă 157. Pe de altă parte, dacă o cifră este precedată la stînga sa de o altă cifră a cărei valoare este mai mică decît prima, valoarea primei se scade din a doua. Prin urmare IV = 4 (V minus I), iar CM = 900 (M minus C). De exemplu, anul 1987 poate fi reprezentat în notația romană astfel: MCMLXXXVII. O analiză acestei notații este bine venită:
M (1000) + CM (900) + XXX (30) + V (5) + II (2) = 1987
Numerele mari sunt dificil de reprezentat prin intermediul acestei notații. Adunarea și scăderea cifrelor ne poate da și ea bătăi de cap. O altă problemă majoră a acestui sistem este imposibilitaea reprezentării numerelor negative sau a valorii nule (zero), ambele fiin concepte foarte importante în matematică.
M (1000) + CM (900) + XXX (30) + V (5) + II (2) = 1987
Numerele mari sunt dificil de reprezentat prin intermediul acestei notații. Adunarea și scăderea cifrelor ne poate da și ea bătăi de cap. O altă problemă majoră a acestui sistem este imposibilitaea reprezentării numerelor negative sau a valorii nule (zero), ambele fiin concepte foarte importante în matematică.