Vom studia formele canonice sau formele standard ale funcţiei logice.

Să considerăm tabelul de adevăr al unei funcţiei logice de n variabile y = f(x₁, x₂, …, x₃ ). Prin i vom nota echivalentul zecimal al combinaţiilor cifrelor binare, corespunzătoare valorilor logice ale argumentelor.

Fiecărei combinaţii de valori logice ale argumentelor x₁, x₂, …, x  îi corespunde un produs logic, numit mintermen sau termen P, în care în mod obligatoriu se include fie variabila, fie inversia ei.

Mintermenul P , care corespunde combinaţiei cu echivalentul zecimal i, va include inversia variabilei, dacă în combinaţia în studiu argumentul respectiv are valoarea logică şi însăşi variabila în caz contrar.

Orice funcţie logică de n variabile poate fi reprezentată printr-o sumă logică unică a mintermenilor P , deci

2ⁿ -1

y = V a_i P_i

i=0

Formula dată se numeşte forma canonică P sau forma disjunctivă normală perfectă (FDNP).

Coeficienţii α se numesc numere caracteristice ale funcţiei logice.

Forma disjunctivă normală perfectă se scrie direct din tabelul de adevăr după cum urmează:

1)    parcurgînd tabelul de adevăr, se selectează combinaţiile valorilor argumentelor pentru care funcţia are valoarea 1;

2)    pentru fiecare combinaţie selectatţ i se formează mintermenul P ;

3)    mintermenii căpătaţi se reunesc cu ajutorul operatorului disjuncţiei.

Orice funcţie logică de n variabile poate fi reprezentată printr-un produs logic unic al maxtermenelor S , deci

2ⁿ -1

y = &(a_i v S_i ).

i=0

Forma dată de relaţia se numeşte forma canonică S sau forma conjuctivă normală perfectă (FCNP).

Conform relaţiei date, forma conjunctivă normală perfectă se scrie direct din tabelul de adevăr, după cum urmează:

1)    parcurgînd tabelul de adevăr, se selectează combinaţiile valorilor argumentelor pentru care funcăia are valoarea 0;

2)    pentru fiecare combinaţie selectată se formează maxtermenul S ;

3)    maxtermenii căpătaţi se reunesc cu sjutorul operatorului conjuncţiei.

 

Pentru a defeni o funcţie logică, în coloană y a tabelului de adevăr se indică valorile funcţiei – 0 sau 1 pentru fiecare din cele 2  combinaţii ale valorilor argumentelor. Vom nota prin j echivalentul zecimal al combinaţiilor cifrelor 0 şi 1 din coloniţay.Întrucît tabelul de adevăr are 2  rînduri, achivalentul zecimal poate lua valorile 0, 1, … , 2 ^n-1.

Prin urmare, există

m = 2 ²ⁿ

funcţii logice de n variabile, ce se notează prin y .

De exemplu, în cazul cînd n=1, există m=2 =4 funcţii logice. Formele canonice ale funcţiilor în studiu sînt:

y₀ = f(x) = 0;

y₁= f(x) = x;

y₂ = f(x) = x;

y₃ = f(x) = 1.

Funcţiile y₀ şi y₃ numesc funcţia constanta 0 şi constanta 1 respectiv. Funcţia y₁ este funcţia logică NU, iar cea rămasă se numeşte funcţia de repetare.

Pentru m=2 există 16 funcţii logice, dintre care y  se numeşte funcţia logică ŞI sau conjuncţia, iar funcţia va avea denumire funcţia logică SAU sau disjuncţia.

Forma disjunctivă normală perfectă a funcţiei y  este:

y = f(x₁ ,x₂ ) = x₁ x₂,

Care conform teoremei Morgan poate fi scrisă ca

y  = x₁ v x ₂.

Funcţia dată se numeşte funcţia logică ŞI – NU.

Funcţia

y = f(x₁ , x₂ ) = x₁ x₂ vx₁ x₂

Are valoare 1 numai cînd x₁ = x₂ =0 sau x₁ = x₂ = =1. Această funcţie se numeşte funcţie logică coincidenţă.

Pentru a simplifica studiul funcţiilor logice în algebra booleană se introduce noţiunea de set de funcţii logice.

O mulţime arbitrară de funcţii logice se numeşte set complet de funcţii, dacă orice funcţie logică poate fi exprimată prontr-o formulă, care include numai simbolurile duncţiilor din mulţimea în studiu.

Exemplu {NU, SAU, ŞI}.